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\chapter{系统的快速性}

\section{标准测试信号}

在前面分析系统的零状态输出响应时，我们已经知道其中包括系统本身的动态响应和输入经系统的动态响应两个部分。其中输入经系统的动态响应部分随输入信号的不同而不同，另外系统本身的动态响应是一致的。

在讨论系统动态响应的快速性时，我们使用单位阶跃信号作为标准测试信号。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/step.png}
\caption{单位阶跃作为标准测试信号}
\label{fig7-1}
\end{figure}



\section{系统性能的初步分析}

任何复杂系统都可以看成是由一阶和二阶系统构成的

例如，系统

$$
G(s)=\frac{500}{s^3+20s^2+150s+500}
$$

可以分解为

\begin{aligh}
G(s)=\frac{500}{s^3+20s^2+150s+500} \\
=\frac{10}{s+10}+\frac{-10s}{s^2+10s+50}
\end{align}

即

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/example-1-3.png}
\caption{系统的等效分解}
\label{fig7-2}
\end{figure}

所以，研究复杂系统的性能要从一阶系统和二阶系统的性能开始。

另外，一个良好设计的系统，从总体上看总是表现得像一个一阶系统或者一个二阶系统的性能。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/rapidity/pole-1.png}
\caption{主极点为实极点}
\label{fig7-3}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/rapidity/pole-2.png}
\caption{主极点为复极点}
\label{fig7-4}
\end{minipage}
\end{figure}

因此，当我们设计控制系统后，如果得到下面的系统极点配置，则说明控制器设计错误。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/pole-3.png}
\caption{错误的极点配置}
\label{fig7-5}
\end{figure}


\section{一阶系统性能分析}

给定一阶系统

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/first-order-system.png}
\caption{一阶系统}
\label{fig7-6}
\end{figure}

其传递函数为

$$
T(s)=k\frac{a}{s+a}=\frac{k}{\tau s+1}
$$

其中，$k$是直流增益，或称稳态增益，$\tau=1/a$是时间常数。

输入信号为阶跃信号时，输出信号

$$
Y(s)=k\frac{a}{s+a}\frac{1}{s}\\
=k[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}]
$$

所以系统的单位阶跃响应为

$$
y(t)=k[1-e^{-at}] \\
=k[1-e^{-\frac{t}{\tau}}]
$$

画出图形

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/step-response.png}
\caption{一阶系统的阶跃响应}
\label{fig7-7}
\end{figure}

我们使用$2\%$准则的调节时间来描述系统输出趋近于输入的速度，也就是系统输出误差减小到$2\%$以内的时刻。对于一阶系统，当$t>t_s$时

$$
e^\frac{t}{\tau}<2\%
$$

根据$e^{-4}<2\%$，可以得到一阶系统$2\%$准则的条件时间为

$$
t_s=4\tau
$$

响应快意味着响应时间小。

另外，由于$\tau=1/a$，而一阶系统中a对应这极点构型的位置。这表明一阶系统极点离虚轴越远，系统的瞬态响应越快。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/pole-place.png}
\caption{一阶系统的极点配置}
\label{fig7-8}
\end{figure}

\subsection{一阶系统的参数辨识}

对于一个系统，当我们输入一个阶跃信号可以得到对应的输出信号。从输出信号中，我们可以确定一些指标（例如调节时间），这样就可以反过来确定系统的参数（一阶系统中是$k$和$\tau$）

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/input-output.png}
\caption{一阶系统的输入输出}
\label{fig7-8}
\end{figure}

有时物理系统的微分方程不易确定，我们就可以用实验测量的方法来确定系统的参数

得到一阶系统的阶跃响应以后，如何确定参数？

从输出响应入手

$$
y(t)=k[1-e^{-\frac{t}{\tau}}]r(\infty)
$$

而

$$
y(\infty)=kr(\infty)
$$

所以

$$
y(\tau)=k[1-e^{-\frac{t}{\tau}}]r(\infty)\\
=0.632y(\infty)
$$

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/step-response-632.png}
\caption{一阶系统参数辨识}
\label{fig7-9}
\end{figure}

这样，我们首先通过$y(\infty)$可以确定$k$
$$
k=\frac{y(\infty)}{r(\infty)}
$$
然后在系统输出响应中找到$0.632y(\infty)$的位置，就可以确定$\tau$的值



例子：



\section{二阶系统性能分析}

二阶系统

$$
T(s)=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_n s+w_n^2}
$$

其中，$\zeta$称为阻尼系数，$w_n$为系统固有频率

固定系统固有频率$w_n$时，对应不同的阻尼系数，系统的单位阶跃响应如下图

【用matlab操作】

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/step-response-zetas.png}
\caption{二阶系统的阶跃响应}
\label{fig7-10}
\end{figure}

哪一种响应曲线是我们希望得到的？

从图中的对比我们更希望得到$\zeta=0.7$的响应曲线？



【不同的任务需要的输出响应不同】

根据任务需要，首先设计$\zeta$。$0<\zeta<1$时称为欠阻尼，$\zeta=1$为临界阻尼，$\zeta>1$为过阻尼。



当系统欠阻尼时

二阶系统的特征根为

$$
s_{1,2}=-\zeta w_n \pm jw_n\sqrt{1-\zeta^2} \\
=-\zeta w_n \pm jw_d
$$

对应的极点构型为

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/seconde-order-poles.png}
\caption{欠阻尼二阶系统的极点构型}
\label{fig7-11}
\end{figure}

系统的单位阶跃输出为

$$
Y(s)=\frac{1}{s}\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_n s+w_n^2} \\
=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta w_n}{(s+\zeta w_n)^2+w_d^2}-\frac{\zeta w_n}{(s+\zeta w_n)^2+w_d^2}
$$

取拉普拉斯反变换，得到二阶系统欠阻尼条件下系统的单位阶跃响应为

$$
y(t)=1-e^{-\zeta w_n t}
\left[ 
cos(w_d t)+\frac{\zeta}{1-\zeta^2}sin(w_d t)
\right] \\
=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_n t}
sin(w_d t + \phi)
$$

其中

$$
\phi = arctan(\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta})
$$


二阶系统的动态响应比一阶系统复杂，因此可考察的指标很多。下面逐一说明：

（1）稳态输出

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/second-order-step.png}
\caption{欠阻尼二阶系统的极点构型}
\label{fig7-12}
\end{figure}

$$
f_v=y(t)\bigg|_{t \rightarrow \infty}
$$
欠阻尼的二阶系统的阶跃响应的稳态输出为1

（2）稳态误差

$$
e_{ss}=1-f_v
$$

（3）峰值$M_p$和峰值时间$T_p$

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/Mp-Tp.png}
\caption{峰值$M_p$和峰值时间$T_p$}
\label{fig7-13}
\end{figure}

求输出响应的微分

$$
\dot{y}(t)=
1-\frac{w_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_n t}
sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_n t)
$$

首次微分为0时输出达到最大，所以

$$
T_p = \frac{\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}w_n}
$$

将峰值时间代入输出响应方程，可以得到峰值

因

$$
tan{\phi}=\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}
$$

所以

$$
\frac{tan(\phi)^2}{1+tan(\phi)^2}=sin(\phi)^2
$$

利用上面的关系，可以解出峰值

$$
M_p=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_n t}
sin(\pi + \phi) \\
=1+e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
$$

（4）超调量PO

二阶系统阶跃响应的超调量为峰值与稳态值的差与稳态值的比

$$
PO=\frac{M_p-f_v}{f_v}\times100\%
$$

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/second-order-po.png}
\caption{超调量}
\label{fig7-14}
\end{figure}

二阶系统稳态输出为1

直接由峰值计算超调量
$$
PO =e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
$$

这一公式说明，超调量由$\zeta$唯一确定

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/impedance-po.png}
\caption{阻尼系数与超调量之间的关系}
\label{fig7-15}
\end{figure}

超调量为5%时，阻尼系数为0.707

（5）调节时间$T_s$


\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/second-order-ts.png}
\caption{调节时间}
\label{fig7-16}
\end{figure}

$$
1-\delta \le y(t) \le 1+\delta \quad t \ge t_s 
$$

其中，$\delta$一般取$2\%$，称为$2\%$准则。

$$
y(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_n t}
sin(w_d t + \phi)
$$

粗略计算

$$
T_s = \frac{4}{\delta w_n}
$$

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/rapidity/impedance-ts.png}
\caption{阻尼系数与调节时间}
\label{fig7-17}
\end{figure}

从图中可以看出，使用粗略计算公式得到的系统调节时间并不精确。

（6）上升时间$T_r$

上升时间定义可取：

- $y(t)$从0上升到1所需要的时间
- $y(t)$从$0.1f_v$上升到$0.9f_v$所需要的时间



上升时间的定义取从0上升到1需要的时间时
$$
y(T_r)=1
$$
根据输出响应公式，可以计算出
$$
T_r=\frac{\pi-\phi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}}
$$
但是输出响应有时不能达到1，所以在matlab中使用的是第二个定义。



上升时间的定义取从$0.1f_v$上升到$0.9f_v$所需要的时间时
$$
y(t_1)=0.1f_v \\
y(t_2)=0.9f_v
$$
求得
$$
T_{r1}=t_2-t_1
$$


这种定义没有解析形式。

使用matlab等工具，可以得到近似公式
$$
R_{r1}=\frac{2.16\zeta+0.7}{w_n}
$$


综上，二阶系统的性能指标包括稳态输出、稳态误差、峰值和峰值时间、超调量、调节时间、上升时间。需要注意的是一些重要特性。

- 超调量仅与阻尼系数有关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与阻尼系数和系统固有频率相关
- 对于给定的阻尼系数，当固有震荡频率增加时，响应变快。


